Способы вывода критериев подобия (часть 1)

Теория подобия позволяет, не интегрируя дифференциальных уравнений, получать из них критерии подобия и, используя опытные данные, находить критериальные зависимости, справедливые для подобных явлений.
Для вывода критериев подобия обычно применяют два способа:
1) анализ дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений и условий однозначности;
2) анализ размерностей величин.
Известны три метода вывода критериев подобия из анализа уравнений: метод подобных преобразований, метод интегральных аналогов и метод приведения уравнений к безразмерному виду.
Метод подобных преобразований заключается в замене величин, входящих в уравнение, пропорциональными им величинами с помощью множителей преобразования.
Пример. Уравнение переноса тепла для нестационарного режима с граничными условиями третьего рода записывается в виде

где Δt - температурный напор, α - коэффициент теплообмена. Пусть первая система характеризуется значениями параметров t, т, х, а, λ, α, Δt, а вторая – значениями

полученными с помощью множителей преобразования М.
Подставляя в уравнения (5.16) и (5.17) значения второй группы переменных и используя соотношения

где l - характерный размер системы.
Метод интегральных аналогов. Здесь используется правило замещения, по которому вместо производных величин рассматриваются так называемые интегральные аналоги. Сам метод заключается в следующем:
а) все производные любого порядка заменяются их интегральными аналогами, т.е. знаки дифференцирования отбрасываются;
б) при наличии суммы сложных дифференциальных операторов вида

в) интегралы заменяются подинтегральными выражениями;
г) все знаки равенства, сложения и вычитания заменяются знаком подобия
д) путем деления всех полученных комплексов на один из них последние приводятся к безразмерному виду.
Пример. Воспользуемся уравнениями (5.6) и (5.7). Отбрасывая знаки дифференциалов, получаем

Разделив каждое выражение на один из комплексов, получим критерий подобия

---